§ 33. Закон всесвітнього тяжіння. Сила тяжіння. Прискорення вільного падіння

Кажуть, що І. Ньютон сам розповідав, як він зробив відкриття закону всесвітнього тяжіння. Якось науковець гуляв яблуневим садом і побачив у денному небі Місяць. У цей момент на його очах з гілки впало яблуко. Саме тоді вчений подумав про те, що, можливо, це одна сила змушує яблуко падати на землю, а Місяць залишатися на навколоземній орбіті.

11 лютого 2016 р. було оголошено про експериментальне відкриття гравітаційних хвиль, існування яких передбачив ще Альберт Ейнштейн. Гравітаційна хвиля — це поширення змінного гравітаційного поля в просторі. Ця хвиля випромінюється рухомою масою і може відірватися від свого джерела (як відривається електромагнітна хвиля від зарядженої частинки, що рухається з прискоренням). Вважають, що вивчення гравітаційних хвиль допоможе пролити світло на історію Всесвіту і не тільки.

1. Згадуємо гравітаційну взаємодію

Усі без винятку фізичні тіла у Всесвіті притягуються одне до одного — це явище називають всесвітнім тяжінням або гравітацією (від латин. gravitas — вага).

Гравітаційна взаємодія — взаємодія, яка є властивою всім тілам у Всесвіті й виявляється в їхньому взаємному притяганні одне до одного.

Наприклад, зараз ви і цей підручник взаємодієте силами гравітаційного притягання. Однак у цьому випадку сили настільки малі, що їх не зафіксують навіть найточніші сучасні прилади. Сили гравітаційного притягання сягають помітного значення тільки тоді, коли хоча б одне з тіл має масу, порівнянну з масою небесних тіл (чорних дір, зір, планет і їхніх супутників тощо).

Гравітаційна взаємодія здійснюється завдяки особливому виду матерії — гравітаційному полю, яке існує навколо будь-якого тіла: зорі, планети, людини, книжки, молекули, атома тощо.

2. Відкриваємо закон всесвітнього тяжіння

Перші вислови про тяжіння зустрічаються в античних авторів. Так, давньогрецький мислитель Плутарх (бл. 46 — бл. 127 рр.) писав: «Місяць упав би на Землю як камінь, щойно зникла б сила його польоту».

У XVI-XVII ст. учені Європи повернулися до теорії існування взаємного притягання тіл. Поштовхом до її відродження стали насамперед відкриття в астрономії: Миколай Коперник (рис. 33.1) довів, що в центрі Сонячної системи розташоване Сонце, а всі планети обертаються навколо нього; Йоганн Кеплер (1571-1630) відкрив закони руху планет навколо Сонця; Ґалілео Ґалілей створив телескоп і за його допомогою побачив супутники Юпітера.

Рис. 33.1. Миколай Коперник (1473-1543) — польський астроном, творець геліоцентричної системи світу

Але чому планети обертаються навколо Сонця, чому супутники обертаються навколо планет, яка сила втримує космічні тіла на орбітах? Одним із перших, хто це зрозумів, був англійський учений Роберт Гук (1635-1703). Він писав: «Усі небесні тіла мають притягання до свого центра, унаслідок чого вони не тільки утримують власні частини й перешкоджають їм розлітатися, але й притягають усі інші небесні тіла, що перебувають у сфері їхньої дії». Саме Р. Гук висловив припущення про те, що сила притягання двох тіл прямо пропорційна масам цих тіл і обернено пропорційна квадрату відстані між ними. Однак довести це йому не вдалося. Це зробив І. Ньютон, який і сформулював закон всесвітнього тяжіння:

Між будь-якими двома тілами діють сили гравітаційного притягання (рис. 33.2), які прямо пропорційні добутку мас цих тіл і обернено пропорційні квадрату відстані між ними:

Рис. 33.2. Відповідно до третього закону Ньютона сили гравітаційного притягання тіл рівні за модулем і протилежні за напрямком

• Математичний запис якого закону вам нагадує закон всесвітнього тяжіння? Запишіть відповідну формулу.

Гравітаційну сталу вперше виміряв англійський учений Генрі Кавендіш (рис. 33.3) у 1798 р. за допомогою крутильних терезів:

Рис. 33.3. Генрі Кавендіш (1731-1810) — англійський фізик і хімік. Визначив гравітаційну сталу, масу та середню густину Землі; за кілька років до Ш. Кулона встановив закон взаємодії електричних зарядів

Гравітаційна стала чисельно дорівнює силі, з якою дві матеріальні точки масою 1 кг кожна взаємодіють на відстані 1 м одна від одної (якщо m₁ = m₂ = 1 кг, а r = 1 м, то F = 6,67 • 10 -11 Н).

Закон всесвітнього тяжіння дозволяє описати велике коло явищ, у тому числі рух природних і штучних тіл у Сонячній системі, рух подвійних зір, зоряних скупчень тощо. В астрономії, базуючись на цьому законі, обчислюють маси небесних тіл, визначають характер їхнього руху, будову, еволюцію.

3. З’ясовуємо межі застосування закону всесвітнього тяжіння

• 1) якщо розміри тіл нехтовно малі порівняно з відстанню між ними (тіла можна вважати матеріальними точками);
• 2) якщо обидва тіла мають кулясту форму та сферичний розподіл речовини;
• 3) якщо одне з тіл — куля, розміри та маса якої значно більші, ніж розміри та маса другого тіла, яке перебуває на поверхні цієї кулі або на відстані від неї.

Зверніть увагу! Закон всесвітнього тяжіння, як і більшість законів класичної механіки, застосовують тільки у випадках, коли відносна швидкість руху тіл набагато менша від швидкості поширення світла. У загальному випадку тяжіння описується загальною теорією відносності, створеною А. Ейнштейном.

Рис. 33.4. До завдання в § 33

• Чому можна скористатися законом всесвітнього тяжіння, обчислюючи силу притягання Землі до Сонця? Місяця до Землі? людини до Землі (див. рис. 33.4)?

4. Визначаємо силу тяжіння

* Сила тяжіння зумовлена не тільки гравітаційним притяганням Землі, а й її добовим обертанням. Проте це є суттєвим лише для надточних розрахунків.

Рис. 33.5. Сила тяжіння напрямлена вертикально вниз і прикладена до точки, яку називають центром тяжіння тіла. Центр тяжіння однорідного симетричного тіла розташований у центрі симетрії; може бути й поза тілом (в)

Згідно із законом всесвітнього тяжіння модуль сили тяжіння F_тяж, яка діє на тіло поблизу Землі, можна обчислити за формулою:

де G — гравітаційна стала; m — маса тіла; M_З — маса Землі; r = R_З + h — відстань від центра Землі до тіла (рис. 33.6).

Рис. 33.6. Відстань r від центра Землі до тіла дорівнює сумі радіуса Землі R_З і висоти h, на якій перебуває тіло

5. Що таке прискорення вільного падіння

Рух тіла лише під дією сили тяжіння називають вільним падінням.

Отже, маємо дві формули для визначення модуля сили тяжіння:

Зрівнявши праві частини цих формул, отримаємо формулу для обчислення прискорення вільного падіння:

Що показує аналіз останньої формули?

1. Прискорення вільного падіння не залежить від маси тіла (довів Ґ. Ґалілей).

2. Прискорення вільного падіння зменшується в разі збільшення висоти h тіла над поверхнею Землі, причому помітна зміна відбувається, якщо h становить десятки й сотні кілометрів (на висоті h = 100 км прискорення вільного падіння зменшиться лише на 0,3 м/с 2 ).

3. Якщо тіло перебуває на поверхні Землі (h = 0) або на висоті кількох кілометрів (h ≪ R_З):

Зверніть увагу: розв’язуючи задачі, будемо вважати, що g = 10 м/с 2 .

Падіння тіл уперше дослідив Ґалілео Ґалілей, який висунув, а згодом експериментально підтвердив гіпотезу: причиною того, що легкі тіла падають із меншим прискоренням, є опір повітря; в разі відсутності повітря всі тіла — незалежно від їхньої маси, об’єму, форми — падають на Землю з однаковим прискоренням.

Більш точні експерименти здійснив Ісаак Ньютон, який виготовив для цього спеціальний пристрій — трубку Ньютона. Експерименти показали: у вакуумі свинцева дробинка, корок та пташине перо падали одночасно (а), у повітрі перо безнадійно відставало (б).

Зазначимо, що через обертання Землі, а також через те, що форма Землі — геоїд (екваторіальний радіус Землі більший за полярний на 21 км), прискорення вільного падіння залежить від географічної широти місцевості (рис. 33.7).

Рис. 33.7. Модуль прискорення вільного падіння на екваторі є трохи меншим, ніж на полюсі (g₃ < g₁)

• Із курсу фізики 7 класу ви знаєте, що g ≈ 10 Н/кг. Доведіть, що 1 Н/кг = 1 м/с 2 .

Підбиваємо підсумки

Взаємодію, яка є властивою всім тілам у Всесвіті й виявляється в їхньому взаємному притяганні одне до одного, називають гравітаційною. Гравітаційна взаємодія здійснюється за допомогою особливого виду матерії — гравітаційного поля.

Контрольні запитання

1. Яку взаємодію називають гравітаційною? Наведіть приклади. 2. Сформулюйте та запишіть закон всесвітнього тяжіння. 3. Яким є фізичний зміст гравітаційної сталої? Чому вона дорівнює? 4. Якими є межі застосування закону всесвітнього тяжіння? 5. Дайте означення сили тяжіння. За якими формулами її обчислюють і як вона напрямлена? 6. Від яких чинників залежить прискорення вільного падіння?

1. Визначте масу тіла, якщо на поверхні Місяця на нього діє сила тяжіння 7,52 Н. Яка сила тяжіння діятиме на це тіло на поверхні Землі? Прискорення вільного падіння на Місяці — 1,6 м/с 2 .

2. Чи можна, скориставшись законом всесвітнього тяжіння, розрахувати силу притягання двох океанських лайнерів (див. рисунок)?

3. Як зміниться сила гравітаційного притягання між двома кульками, якщо одну з них замінити іншою, вдвічі більшої маси?

4. Вимірявши гравітаційну сталу, Г. Кавендіш зміг визначити масу Землі, після чого з гордістю сказав: «Я зважив Землю». Визначте масу Землі, знаючи її радіус (R_З ≈ 6400 км), прискорення вільного падіння на її поверхні та гравітаційну сталу.

5. Визначте прискорення вільного падіння на висоті, яка дорівнює трьом радіусам Землі.

6. Визначте гравітаційне прискорення на поверхні планети, маса якої вдвічі більша від маси Землі, а радіус вдвічі більший за радіус Землі.

7. Скористайтесь додатковими джерелами інформації і дізнайтесь про прискорення вільного падіння на поверхні планет Сонячної системи. На який планеті ви будете менше важити? Чи буде при цьому більшою ваша маса?

8. Рівняння руху тіла: х = -5t +5t 2 . Якими є початкова швидкість і прискорення руху тіла? Через який інтервал часу тіло змінить напрямок свого руху?

Експериментальне завдання

Якщо тіло не має правильної геометричної форми, то центр його тяжіння можна визначити, підвішуючи тіло по черзі за будь-які дві крайні точки (див. рисунок). Виріжте із цупкого паперу або картону фігурку довільної форми та визначте розташування її центра тяжіння. Помістіть фігурку центром тяжіння на вістря голки або стрижня авторучки. Переконайтеся, що фігурка перебуває в рівновазі. Запишіть план проведення експерименту.

Фізика і техніка в Україні

Одеський національний політехнічний університет, заснований у 1918 р., сьогодні є одним із провідних технічних навчальних закладів України.

Престиж університету визначається авторитетом видатних учених, життя яких пов’язане з Одеською політехнікою і серед яких багато науковців зі світовим ім’ям.

Період становлення Одеської політехніки відомий іменами таких учених, як лауреат Нобелівської премії І. Є. Тамм, академіки Л. І. Мандельштам, М. Д. Папалексі, А. Г. Амелін, М. А. Аганін, професори М. А. Кузнецов, К. С. Заврієв, Ч. Д. Кларк, І. Ю. Тимченко та ін.

В Одеському політехнічному університеті навчались і працювали видатні інженери, конструктори, вчені, винахідники: В. І. Атрощенко, Г. К. Боресков, А. А. Еннан, О. Е. Нудельман, О. Ф. Дащенко, Л. І. Гутенмахер, Г. К. Суслов, В. В. Ажогін, Л. І. Панов, Б. С. Прістер, А. В. Усов, О. В. Якимов та ін.

Основні напрями наукових досліджень і підготовки кадрів Одеської політехніки — машинобудування, енергетика, хімічні технології, комп’ютерно-інтегровані системи управління, радіоелектроніка, електромеханіка, інформаційні технології, телекомунікації.

Із 2010 р. ректор університету — Геннадій Олександрович Оборський, доктор технічних наук, професор, відомий фахівець у галузі динаміки й надійності технологічних систем.

Уроки фізики у 10 класі

Мета: сформувати знання про явище вільного падіння, прискорення вільного падіння; виробити вміння застосовувати знання про рівноприскорений рух до вільного падіння тіла до рухів тіла, кинутого вертикально вгору, горизонтально і під кутом до горизонту; виховувати інтерес до фізики, до експериментального методу пізнання, розкриваючи роль Галілея, значення його дослідів з вільним падінням тіл.

Тип уроку: урок вивчення нового навчального матеріалу.

Унаочнення: демонстрування падіння тіл у повітрі та в розрідженому повітрі, визначення прискорення вільного падіння, рухів тіл під дією сили земного тяжіння.

І. Актуалізація опорних знань (методом ущільненого опитування)

✵ Повторити фізичні величини, вивчені в цій темі (середня і миттєва швидкості, прискорення), їх одиниці вимірювання, відповідні формули, обговорення питання про відносність та інваріантність величин у різних системах відліку.

✵ Записати основні рівняння рівноприскореного руху:

✵ Записати фізичні величини для розв’язування основної задачі механіки.

ІІ. Мотивація навчальної діяльності.

Повідомлення теми та завдань уроку Проблемне питання:

✵ Чи за однаковий час падають усі тіла за звичайних умов? Дослід. Візьміть два аркуші паперу, підніміть на висоту 1 м над партою і відпустіть. Що ви побачили? А тепер зімніть один із аркушів і виконайте таку саму операцію. Що відбулося на цей раз? Чому?

III. Вивчення нового матеріалу

Вивчення нового матеріалу здійснюється у формі евристичної бесіди з використанням відомостей з історії фізики та демонстраційного експерименту.

Вільне падіння тіл — це окремий випадок прямолінійного рівноприскореного руху без початкової швидкості. Вільне падіння — це рух тіл у вакуумі під дією однієї сили — сили тяжіння . Прискорення при цьому однакове для всіх тіл. Цей факт підтверджується експериментально. Помістимо в трубку три різні предмети (свинцеву шротинку, корок і пташину пір’їнку). Потім швидко перевернемо трубку. Усі три тіла впадуть на її дно в такій послідовності: шротинка, корок і пір’їна (рис. 1). Так падають тіла тоді, коли в трубці є повітря. Якщо ж повітря з трубки відкачати насосом (рис. 2) і, закривши після відкачування кран, знову перевернути трубку (рис. 3), всі три тіла впадуть одночасно. Це й свідчить, що у вакуумі всі тіла падають з однаковим прискоренням.

Приклади різних випадків вільного падіння (рис. 4):

Способи вимірювання прискорення земного тяжіння (вільного падіння):

1. За допомогою математичного маятника шляхом вимірювання його довжини і періоду коливань T.

2. Вимірювання часу вільного падіння без початкової швидкості і використання формули:

Основні формули для вільного падіння без початкової швидкості:

Основні формули для тіла, яке у початковий момент мало вертикально напрямлену швидкість 0:

(знак «-» — для тіла, кинутого вертикально вгору, знак « + » — для тіла, кинутого вертикально вниз).

На прискорення вільного падіння впливають:

✵ обертання Землі навколо власної осі: максимальне значення на полюсах, мінімальне на екваторі;

✵ деформації Землі: на зменшення значення g0 на екваторі впливає і те, що екваторіальний радіус Землі більший від полярного;

✵ значення g0 більше на довільній широті, там, де містяться поклади залізної й інших важких руд, менше — над родовищами газу.

Рух тіла, кинутого вертикально вгору,— це рух з прискоренням вільного падіння, яке, як завжди, напрямлене вертикально вниз. Під час піднімання напрям швидкості протилежний до напряму прискорення, отже, швидкість зменшується від початкового значення 0 до нуля. У цьому разі під час розв’язування задач можна початок координат осі Oy поєднати з початком положення тіла на поверхні Землі і спрямувати вісь вертикально вгору. Тоді загальне рівняння руху матиме вигляд:

Отже, якщо тіло, кинуте вертикально вгору з початковою швидкістю , його миттєва швидкість за модулем зменшується (під час піднімання до найвищої точки), і рух описується так:

Максимальна висота піднімання hmax і час t1 піднімання до цієї висоти:

Розглянемо рух тіла, кинутого горизонтально зі швидкістю 0 з висоти h над Землею (рис. 5) і під кутом α до горизонту з початковою швидкістю (рис. 6). Такі рухи складаються з двох незалежних один від одного рухів: рівномірного в горизонтальному напрямі (рух за інерцією) і рівноприскореного у вертикальному напрямі (вільне падіння внаслідок притягання до Землі).

Рівняння руху в горизонтальному напрямі:

де x — проекція швидкості 0 на вісь Ox; x = 0.

Рух тіла у вертикальному напрямі (вздовж осі Oy) є вільним падінням, тому рівняння руху по осі Oy:

Вилучивши час з рівнянь руху, можна отримати рівняння траєкторії, яке виражає зв’язок між координатами х і у:

Отже, траєкторією руху тіла, кинутого горизонтально, є парабола.

У будь-який момент часу швидкість напрямлена по дотичній до траєкторії. Розкладемо вектор на горизонтальну x і вертикальну y складові. Модуль горизонтальної складової швидкості у будь-який момент часу залишається сталим: x = 0, а модуль вертикальної складової лінійно зростає з часом: y = gt. Оскільки , модуль швидкості у будь-який момент польоту дорівнює:

Час падіння до поверхні Землі:

Модуль швидкості падіння поблизу поверхні Землі:

Згідно з рис. 5 можна знайти кут α, під яким напрямлено швидкість тіла біля поверхні Землі:

Якщо тілу надати початкової швидкості під кутом α до горизонту, то його рух буде криволінійним (рис. 6). Форму траєкторії такого руху відтворює струмінь води, спрямований під кутом до горизонту. Спочатку зі збільшенням кута α струмина б’є далі і далі. При куті 45° до горизонту дальність найбільша (якщо не враховувати опір повітря). Зі збільшенням кута дальність зменшується. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, є результатом складання двох рухів: рівномірного прямолінійного зі швидкістю x у горизонтальному напрямі та рівнозмінного з початковою швидкістю y, напрямленою вертикально вгору. Модуль незмінної горизонтальної складової швидкості: x = 0 cosα.

Модуль вертикальної складової весь час змінюється і визначається із рівняння:

Вектор результуючої швидкості:

Числове значення результуючої швидкості:

Вектор результуючої швидкості утворює з горизонтом кут α, що змінюється з часом:

Час t1 від початку руху тіла до точки максимального підняття, де y = 0:

Висота, на яку підніметься тіло за довільний відтинок часу, протягом якого триває політ:

Якщо замість t підставити вираз для часу підняття, то матимемо формулу максимальної висоти підняття:

Час підняття дорівнює часу падіння з висоти Hmax. Повний час польоту по параболі:

Дальність польоту в горизонтальному напрямі:

За рівняннями руху тіла в горизонтальному і вертикальному напрямах знайдемо рівняння траєкторії результуючого руху тіла:

Дальність польоту s буде найбільшою за умови, що sinα = 1, тобто коли α = 45°. За наявності опору повітря траєкторія польоту тіла, кинутого під кутом до горизонту, буде не параболою, а балістичною кривою. Дальність польоту при цьому буде меншою від обчисленої за формулою.

ІV. Осмислення об’єктивних зв’язків.

✵ Що називають вільним падінням тіл?

✵ Яким видом механічного руху є вільне падіння? Опишіть експерименти, за якими виявляють характер цього руху і визначають значення прискорення тіл у цьому русі.

✵ Від чого залежить прискорення вільного падіння?

✵ Запишіть формули, що описують вільне падіння тіл.

✵ З яким прискоренням рухається тіло, кинуте вгору?

✵ Запишіть формули, що описують рух тіла, кинутого горизонтально.

✵ Запишіть формули, що описують рух тіла, кинутого під кутом до горизонту?

2. Розв’язування задач (коментовано)

Камінь кинуто зі швидкістю 30 м/с під кутом 60° до горизонту. Якими є швидкість і прискорення каменя у верхній точці траєкторії?

1. Вивчити відповідний параграф підручника, конспект уроку, формули.

Снаряд випущено зі швидкістю 800 м/с під кутом 30° до горизонту. Якою є тривалість польоту снаряда? На яку висоту піднімається снаряд? На якій відстані від гармати він упаде на землю?

Експеримент Галілео Галілея

У XVII столітті панувала точка зору Аристотеля, який учив, що швидкість падіння тіла залежить від його маси. Чим важче тіло, тим швидше воно падає. Спостереження, які кожен з нас може виконати в повсякденному житті, здавалося б, підтверджують це. Спробуйте одночасно випустити з рук легку зубочистку і важкий камінь. Камінь швидше торкнеться землі. Подібні спостереження привели Аристотеля до висновку про фундаментальну властивість сили, з якою Земля притягує інші тіла. Насправді на швидкість падіння впливає не тільки сила тяжіння, але й сила опору повітря. Співвідношення цих сил для легких предметів і для важких різне, що і призводить до спостережуваного ефекту.

Італієць Галілео Галілей засумнівався в правильності висновків Аристотеля і знайшов спосіб їх перевірити. Для цього він скидав з Пізанської башти в один і той же момент гарматне ядро і значно легшу кулю мушкета. Обидва тіла мали приблизно однакову обтічну форму, тому і для ядра, і для кулі сили опору повітря були настільки малі порівняно із силами тяжіння, що ними можна знехтувати. Галілей з’ясував, що обидва предмети досягають землі в один і той же момент, тобто швидкість їх падіння однакова. Результати, отримані Галілеєм,— наслідок дії закону всесвітнього тяжіння і закону, відповідно до якого прискорення, що набуває тіло, прямо пропорційне до сили, що діє на нього, і обернено пропорційне до маси.

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.